将数字按顺序排列成数位，并遵照某种由低位到高位进位方式表示数值的方法，称作 进位计数制。

1、常见进制

十进制：

十进制计数制由 0、 1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8、 9共 10个数字符号组成。相同数字符号在不同的数位上表示不同的数值，每个数位计满十就向高位进一，即“逢十进一”。

表示为：(2310)₁₀

二进制：

计算机主要是通过二进制进行计算和存储的。

二进制计数制由 0 和 1 共 2 个数字符号组成。相同数字符号在不同的数位上表示不同的数值，每个数位计满二就向高位进一，即“逢二进一”。

表示为：(1101)₂

八进制：

八进制计数制由 0、 1、 2、3、 4、 5、 6、 7共 8个数字符号组成。相同数字符号在不同的数位上表示不同的数值，每个数位计满八就向高位进一，即“逢八进一”。

表示为：(7326)₈

十六进制：

十六进制数由0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 A、 B、 C、 D、 E和 F共十六个符号组成，“逢十六进一”。不同的是用 A、 B、 C、D、 E和 F分别表示 10、11、 12、 13、 14和 15六个数字符号。

字母的大小写是一样的，比如 A 和 a 都可以表示 10 。

表示为：(a89f)₁₆

2、基数与权

某进制计数制允许选用的基本数字符号的个数称为基数。一般而言， J 进制数的基数为 J，可供选用的基本数字符号有 J 个，分别为 0 到 J -1，每个数位计满 J 就向高位进一，即 “逢 J 进一”。

某进制计数制中各位数字符号所表示的数值，是以基数为底，数字符号所处的位置的序号为指数的整数次幂。整数次幂，可以称为“位权”（简称“权”）。

如：(2321)₁₀

括号外的10表示10进制，2321那就是表示 两千三百二十一。

3表示的位权是：3 乘以 10 的 2次方（2是指数），也就是 3 × 10²。

2 是怎么来的？从低位往高位数数（右往左数），从0开始，3 对应的正好是 2。

1-0
2-1
3-2
2-3

3、数学与十进制

数学中的 2321 是怎么得到 两千三百二十一 的？

2321 = 2000 + 300 + 20 + 1
     = 2×1000 + 3×100 + 2×10 + 1
     = 2×10×10×10 + 3×10×10 + 2×10 + 1

(2321)₁₀ = 2 * 10³ + 3 * 10² + 2 * 10¹ + 1 * 10⁰

2321是所有位权求和的结果。

2321.45 呢？

小数部分就是 4 * 10^-1 + 5 * 10^-2

4、转十进制

给出了任意进制数 (KKK.KK) _J，当 J 分别为： 2， 8，10 和 16 时各位权值计算，得到十进制数值。

J进制转十进制练习：按权展开求和

(101.11)₂ = 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ + 1 * 2^-1 + 1 * 2^-2 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 = 5.75

(753.24)₈ = 7 * 8² + 5 * 8¹ + 3 * 8⁰ + 2 * 8^-1 + 4 * 8^-2 = 448 + 40 + 3 + 0.25 + 0.0625 = 491.3125

(231.45)₁₀ = 2 * 10² + 3 * 10¹ + 1 * 10⁰ + 4 * 10^-1 + 5 * 10^-2 = 200 + 30 + 1 + 0.4 + 0.5 = 231.45

(d5c.f3)₁₆ = 13 * 16² + 5 * 16¹ + 12 * 16⁰ + 15 * 16^-1 + 3 * 16^-2 = 3328 + 80 + 12 + 0.9375 + 0.0117 = 3420.9429

5、C++中进制表示

如何指导上述的转换是否正确？用编程来验证整数部分。（二进制和十六进制浮点文字面量不被C++直接支持）。

int d = 231;     	// 十进制数
int b = 0b101; 		// 二进制数	0b 开头
int o = 0753;		// 八进制 0 开头
int h = 0xd5c;  	// 十六进制数 0x 开头

平时写法，也常在数字后加一缩写字母后缀作为不同进制数的标识：

• B ：二进制数，比如 101B

• O：八进制数，比如 753O

• D ：十进制数，比如 231D 或者 231

• H ：十六进制数，比如 d5cH

6、十进制转二进制

十进制整数转二进制数：“除以2取余，逆序输出”。

例：(89)₁₀＝(1011001)₂

十进制小数转二进制数：“乘以2取整，顺序输出”。

例：(0.625)₁₀ = (0.101)₂

同理，我们如果十进制转八进制、十六进制也是一样的计算过程。

例：十进制转八进制

(89)₁₀＝(131)₈

(0.625)₁₀ = (0.5)₈

例：十进制转十六进制

(89)₁₀＝(59)₁₆

(0.625)₁₀ = (.a)₁₆

总结一下就是：

1、其他进制转十进制：按权展开求和

2、十进制转其他进制：整数除取余，小数乘取整

7、八进制转二进制

8 = 2³ ，所以八进制的一个位，可以转换成二进制的3个位；

16 = 2⁴，所以十六进制的一个位，可以转换成二进制的4个位；

例：将八进制的37.416转换成二进制数

结果： (37.416)₈ = (11111.10000111)₂

例：将二进制的 10110.0011 转换成八进制

从小数点往两边 3 位一组，不够补0。 结果：(10110.0011)₂ = (26.14)₈

例：将十六进制数5DF.9 转换成二进制：

结果：(5DF.9)₁₆ = (10111011111.1001)₂

例：将二进制数1100001.111 转换成十六进制：

从小数点往两边 4 位一组，不够补0。结果：(1100001.111)₂ = (61.E)₁₆